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Álgebra |
O ensino tradicional da Matemática prevê que, nos primeiros anos da Educação Básica, o aluno resolva problemas aritméticos com níveis de dificuldade crescente. Depois, quando estiver no 6º e no 7º ano, ele vai ser apresentado ao uso das letras para a resolução de problemas de álgebra. Esse modo de organizar o ensino é bastante praticado e permite bons resultados. Porém a pesquisadora argentina Bárbara Brizuela, radicada há 15 anos nos Estados Unidos e docente da Faculdade de Educação da Universidade de Tufts, em Boston, indica outro caminho possível, tomando como base suas investigações com crianças norte-americanas de 7 a 9 anos. Segundo ela, é possível ensinar álgebra desde cedo e permitir aos pequenos que usem notações - representações por escrito de suas ideias - para ajudar a construir o raciocínio (veja ao longo desta reportagem respostas de alunos para alguns problemas propostos pela pesquisadora para o ensino do uso de tabelas e equações e a análise feita por ela com base nesse material).
Pensamento ordenado
Ao colocar numa folha o que pensa e como pensa, a criança reflete sobre seu modo de raciocinar e pode alterar sua prática
Problema 1
Objetivo: uso de tabelas
Dia 1: Três irmãos guardavam em cofres o dinheiro recebido da avó. Um dia, contaram quanto cada um tinha: Jessica tinha 7 dólares, Daniel, 4 dólares, e Leslie, nada. Mostre quanto dinheiro cada um tem.
Dia 2: A avó deu a cada criança 2 dólares. Com quanto dinheiro ficou cada um?
Dia 3: A avó visitou novamente as crianças e deu 3 dólares para os netos. Mostre em uma tabela com quanto dinheiro ficou cada um, representando as situações do dia 1, 2 e 3.
Reflexões da Pesquisadora
- As crianças muito pequenas são capazes de usar tabelas para resolver problemas.
- Cada uma interage ativamente com o objeto de estudo em questão (as tabelas). Existe uma lógica por trás das decisões e das respostas que devemos nos dedicar a compreender.
- Há coerência no que inicialmente poderia parecer um erro. Por exemplo, repetir a letra inicial do nome das crianças antes do valor em dinheiro (como no exemplo acima).
- A maneira de organizar a informação tem um impacto na forma como compreendemos (e eventualmente reorganizamos) um problema. Cada representação ressalta certos aspectos dele enquanto esconde outros.
As observações de Bárbara sugerem que ensinar álgebra nos primeiros anos da escolaridade não é precoce. "As crianças pequenas não sabem falar e, nem por isso, os adultos deixam de conversar com elas. Elas não escrevem e não leem, mas sabe-se que é preciso ler para elas e deixar que tentem escrever." Bárbara facilita o entendimento dos pontos de vista de seus estudos ao transpor o mesmo raciocínio também para a aprendizagem de uma língua estrangeira: "Não é necessariamente mais fácil aprender inglês ou espanhol quando se tem mais idade". Por isso, suas análises fazem questionamentos sobre por que não se propõem problemas algébricos também para os pequenos e por que acredita-se que seja melhor esperar as crianças ficarem mais velhas para, então, apresentar-lhes letras representando números.
Outra constatação indica que há alternativas às didáticas habituais. De acordo com o estudo, não é essencial ensinar o uso de tabelas, gráficos e equações com base em referências prontas e acabadas: "O uso da linguagem convencional não importa em um primeiro momento. A aprendizagem algébrica deve ser vista como um processo. Nem automático nem rápido, mas que depende de um trabalho intelectual genuíno das crianças para que se apropriem das representações", diz. Bárbara verificou isso na prática. Em uma das atividades apresentadas aos alunos, era solicitada a criação de uma tabela. Eles não eram avisados, mas, na última folha do exercício, havia uma tabela pronta. Curiosamente, o único aluno que descobriu a referência, mesmo copiando o que via, produziu uma tabela diferente daquela convencional.
Em resumo, a Semana da Educação
Em outubro, mais de 1,3 mil professores, diretores e coordenadores pedagógicos participaram das palestras da quarta edição da Semana da Educação, organizada pela FVC em parceria com o Instituto Unibanco e a Federação das Indústrias do Estado de São Paulo (Fiesp), e com o patrocínio da Editora Saraiva. Durante três dias, nove especialistas em Educação, entre eles a pesquisadora Bárbara Brizuela, debateram aspectos ligados às práticas de ensino. José Francisco Soares, coordenador do Grupo de Avaliação e Medidas Educacionais (Game) da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), apresentou a pesquisa Perfil dos Diretores de Escola da Rede Pública, e Fernando Abrúcio, professor da Fundação Getúlio Vargas (FGV), mostrou as conclusões de Práticas Comuns à Gestão Escolar Eficaz, ambas realizadas a pedido da FVC. Wanda Engel, doutora em Educação pela Universidade do Estado do Rio de Janeiro (Uerj), Carlos Artexes Simões, diretor da Secretaria de Educação Básica do Ministério da Educação (MEC), e Vanessa Guimarães, Secretária de Estado de Educação de Minas Gerais, debateram sobre o papel da gestão no Ensino Médio. Guy Brousseau, doutor catedrático em Matemática e Didática das Matemáticas da Universidade de Bordeaux, na França, explorou estudos que mostram a introdução dos alunos no fazer matemático com problemas. Celia Díaz Argüero, pesquisadora do Instituto de Investigações Filológicas da Universidade Nacional Autônoma do México (Unam), centrou sua palestra em reflexões sobre como as crianças usam a pontuação, especialmente para organizar o texto. Por fim, Sofia Vernon, professora da Faculdade de Psicologia da Universidade Autônoma de Querétaro, no México, abordou o tema consciência fonológica e a importância de permitir que as crianças coloquem no papel suas hipóteses de escrita.
As representações em papel são o próprio raciocínio
Bárbara não está sozinha nessas análises sobre notações e aquisição de conhecimento. Na palestra que fez na Semana da Educação, organizada pela Fundação Victor Civita (FVC) de 14 a 16 de outubro, em São Paulo (leia mais sobre o programa do evento no quadro acima), ela mostrou como suas ideias se baseiam em estudos de uma série de pesquisadores renomados, como Gérard Vergnaud (que diz que as representações simbólicas ajudam os pequenos a resolver problemas), Claude Lévi-Strauss (que as chama de ferramentas amplificadoras e diz que elas permitem o controle de recursos dentro da cultura) e Lev Vygostky (1896-1934), que analisa o impacto do uso das ferramentas para as transformações intelectuais do indivíduo.
No Brasil, essa preocupação tem ligação com o que se denomina tratamento da informação. Esse é um dos blocos de conteúdo de Matemática descritos nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) para o Ensino Fundamental. O documento diz que o "trabalho a ser desenvolvido a partir de coleta, organização e descrição de dados possibilita aos alunos compreenderem as funções de tabelas e gráficos, usados para comunicar esses dados: a apresentação global da informação, a leitura rápida e o destaque dos aspectos relevantes".
Problema 2
Objetivo: uso de tabelas
Raymond tem uma certa quantidade de dinheiro. Sua avó lhe oferece duas opções. A primeira: duplicar seu dinheiro. A segunda: triplicar seu dinheiro e, em seguida, tirar 7 dólares. Qual a melhor opção para Raymond? Existe alguma opção sempre melhor? Mostre seu trabalho na folha de papel.
Reflexões da Pesquisadora
- Os sistemas de representação externos (tabelas formuladas de acordo com regras convencionais) podem se tornar objetos de reflexão para os estudantes.
- É preciso dar importância ao equilíbrio entre apresentar às crianças representações convencionais e aceitar as que fazem espontaneamente (como no exemplo acima).
- A interação entre diferentes sistemas de representação é muito importante para o desenvolvimento do pensamento matemático dos pequenos.
Bárbara considera as notações instrumentos fundamentais para as crianças aprenderem quaisquer conteúdos. E a importância dessas representações fica bem evidente nos resultados do projeto Álgebra desde Cedo (Early Algebra, no original em inglês). No projeto, a aritmética e a álgebra não são estudadas de modo estanque, mas desde as séries iniciais. "Dessa forma, quando as crianças chegam aos 13 ou 14 anos, não estranham que haja incógnitas ou variáveis nos problemas e conseguem resolvê-los com propriedade", explica. E faz um alerta: "A maioria dos alunos tem problemas com Matemática nessa faixa etária. A deficiência não deve ser deles, mas pode ser nossa, que não ensinamos bem".
Desde 1998, a pesquisadora investiga os efeitos da aprendizagem de álgebra por crianças menores. Bárbara e uma equipe, que inclui a brasileira Analúcia Schliemann, lecionam em uma escola pública norte-americana na periferia da cidade de Boston. O trabalho deles é propor atividades algébricas durante uma hora, uma ou duas vezes por semana. As mesmas turmas são acompanhadas durante três anos, e os avanços, as dúvidas e as mudanças de estratégias são identificados nas produções e em entrevistas e atividades filmadas. Com esse acompanhamento, é colocado em análise o impacto do contato das crianças com a álgebra ao longo da escolaridade. Ao conversar com os pequenos enquanto eles "escrevem Matemática", como diz Bárbara, ela percebe como estão inventando e examinando símbolos para fazer e compreender a disciplina.
Problema 3
Objetivo: uso de equações
Duas alunas vão à frente da sala e recebem diferentes quantidades de doces. São elas:
Briana: 2 tubos, 1 caixa e 7 doces soltos
Susan: 1 tubo, 1 caixa e 20 doces soltos
Sabe-se que:
a) Cada caixa contém a mesma quantidade de doces.
b) Cada tubo contém a mesma quantidade de doces.
c) Cada aluno tem a mesma quantidade total de doces.
Reflexões da Pesquisadora
- A maioria das crianças representou o problema com desenhos. Um terço delas incluiu uma equação no trabalho escrito e mais de um terço usou uma letra para representar um ou mais desses valores (como no exemplo acima).
- Elas podem tanto usar equações como letras para representar variáveis e incógnitas enquanto resolvem problemas algébricos. Essas notações são intrínsecas à álgebra e, por isso, devem ser levadas em conta ao abordar o ensino e a aprendizagem desse conteúdo.
- A possibilidade de usar equações e letras para representar variáveis ou incógnitas pode facilitar a resolução de problemas algébricos.
As formas convencionais de representar os problemas algébricos são solicitadas pelos profissionais desde o primeiro dia de aula e as crianças passam a se apropriar dessa linguagem específica. Enquanto algumas preferem desenhar para expressar suas ideias, outras constroem tabelas e gráficos ou, ainda, usam pontos de interrogação ou letras para sinalizar incógnitas e variáveis. Nem todos os tipos de notação colaboram para todos os problemas a resolver. Porém cada representação facilita alguns processos. Aos poucos, os alunos vão aprendendo a elegê-las e usá-las. Nesse processo, é importante que as crianças construam entendimentos e façam interpretações.
No livro Desenvolvimento Matemático na Criança: Explorando Notações, o único de Bárbara traduzido para o português, ela explica que "o fazer e o conceber matemáticos são mediados por sistemas de escrita importantes e, muitas vezes, complicados, de modo que a Matemática também é um tipo particular de discurso escrito". Na obra, ela cita também as experiências de seus vários alunos em sala de aula durante o processo de aprendizagem. Com base na análise dos registros deles, fica claro como é importante considerar as representações de cada um. Elas são mostras valiosas do modo de construção do conhecimento.